Định lí Lagrange và ứng dụng

admin

Bạn đang được coi nội dung tư liệu Định lí Lagrange và ứng dụng, nhằm chuyển vận tư liệu về máy chúng ta click nhập nút DOWNLOAD ở trên

ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG
ĐỊNH LÍ LAGRANGE
1.1. ĐỊNH LÍ ROLLE
 Định lí: Nếu là hàm liên tiếp bên trên đoạn , đem đạo hàm bên trên khoảng chừng và thì tồn tại vì sao mang lại .
 Chứng minh:
 Vì liên tiếp bên trên [a; b] nên theo gót toan lí Weierstrass nhận độ quý hiếm lớn số 1 M và độ quý hiếm nhỏ nhất m bên trên [a; b].
 - Khi M = m tao đem là hàm hằng bên trên [a; b], bởi vậy với từng luôn luôn đem .
 - Khi M > m, vì thế tồn tại vì sao mang lại hoặc , theo gót trượt đề Fermat suy rời khỏi .
 Hệ ngược 1: Nếu hàm số đem đạo hàm bên trên (a; b) và đem n nghiệm (n là số vẹn toàn dương to hơn 1) bên trên (a; b) thì đem tối thiểu n - 1 nghiệm bên trên (a; b).
 Hệ ngược 2: Nếu hàm số đem đạo hàm bên trên (a; b) và vô nghiệm bên trên (a; b) thì có không ít nhất 1 nghiệm bên trên (a; b).
 Hệ ngược 3: Nếu đem đạo hàm bên trên (a; b) và có không ít nhất n nghiệm (n là số vẹn toàn dương) bên trên (a; b) thì có không ít nhất n + 1 nghiệm bên trên (a; b).
 Các hệ ngược bên trên được suy rời khỏi thẳng kể từ toan lí Rolle và nó vẫn đích thị nếu như những nghiệm là nghiệm bội (khi là nhiều thức). 
 Các hệ ngược bên trên mang lại tao ý tưởng phát minh về sự minh chứng tồn bên trên nghiệm tương tự xác lập số nghiệm của phương trình, và nếu mà vì thế một cơ hội nào là bại liệt tao tìm kiếm được toàn bộ những nghiệm của phương trình (có thể vì thế lần mẫm) thì nghĩa là lúc bại liệt phương trình và đã được giải.
 Từ toan lí Rolle được chấp nhận tao minh chứng toan lí Lagrange, tổng quát lác rộng lớn, chỉ việc tao cho tới ý cho tới chân thành và ý nghĩa của đạo hàm (trung bình độ quý hiếm thay đổi thiên của hàm số).
 1.2. ĐỊNH LÍ LAGRANGE (Lagrange's Mean Value Theorem)
 Định lí: Nếu là hàm liên tiếp bên trên đoạn , đem đạo hàm bên trên khoảng chừng thì tồn tại vì sao mang lại .
 Chứng minh: 
 Xét hàm số:
.
Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813)
 Ta có: F(x) là hàm liên tiếp bên trên đoạn , đem đạo hàm bên trên khoảng chừng và . 
 Theo toan lí Rolle tồn tại vì sao mang lại .
 Mà , suy rời khỏi .
A
C
B
b
a
c
O
y
x
 Định lí Rolle là 1 trong những hệ ngược của toan lí Lagrange (trong tình huống )
 Ý nghĩa hình học:
 Cho hàm số thỏa mãn nhu cầu những fake thiết của toan lí Lagrange, loại thị (C), A(a;f(a)), B(b;f(b)).
Khi bại liệt bên trên (C) tồn bên trên điểm C(c;f(c)),nhưng mà tiếp tuyến của (C) bên trên C tuy vậy song với đường thẳng liền mạch AB.
 Định lí Lagrange được chấp nhận tao ước tính tỉ số bởi vậy nó còn được gọi là toan lí Giá trị tầm (Mean Value Theorem). Từ bại liệt mang lại tao ý tưởng phát minh minh chứng những toan lí về sự việc thay đổi thiên của hàm số, bịa hệ thống móng mang lại những phần mềm của đạo hàm.
 Định lí: Cho hàm số đem đạo hàm bên trên khoảng chừng .
 - Nếu thì đồng thay đổi bên trên .
 - Nếu thì nghịch tặc thay đổi bên trên .
 - Nếu thìa là hàm hằng bên trên .
 Chứng minh:
 Giả sử và , theo gót toan lí Lagrange, tồn tại vì sao mang lại . 
 Mà đồng thay đổi bên trên (a; b).
 Nếu nhập fake thiết của toan lí Lagrange tao thêm vô fake thiết đồng thay đổi hoặc nghịch tặc thay đổi bên trên [a; b] thì tao rất có thể đối chiếu với .
Cụ thể: đồng thay đổi bên trên [a;b] 
 nghịch tặc thay đổi bên trên [a;b] 
 Từ trên đây mang lại tao ý tưởng phát minh phần mềm toan lí Lagrange minh chứng bất đẳng thức và Đánh Giá những tổng hữu hạn.
 Cũng tương tự động nếu như nhập fake thiết của toan lí Lagrange tao thêm vô fake thiết đồng thay đổi hoặc nghịch tặc thay đổi bên trên [a; b] thì tao rất có thể đối chiếu với với mang lại tao ý tưởng phát minh nhằm minh chứng thật nhiều bất đẳng thức, như bất đẳng thức Jensen
 Bên cạnh đó toan lí Lagrange còn được tuyên bố bên dưới dạng tích phân như sau:
 Định lí: Nếu là hàm liên tiếp bên trên đoạn [a; b] thì tồn bên trên điểm thỏa mãn: 
 Định lí Lagrange dạng tích phân được vận dụng minh chứng một vài vấn đề tương quan cho tới tích phân và số lượng giới hạn hàm số.
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
 Bài toán 1. Chứng minh rằng phương trình acosx + bcos2x + ccos3x luôn luôn đem nghiệm với từng cỗ những số thực a, b, c.
 Lời giải: 
 Xét 
 Mà, suy rời khỏi điều nên minh chứng.
 Nhận xét: Bài toán bên trên đem dạng tổng quát: 
 Cho hàm số f(x) liên tiếp bên trên [a; b], minh chứng rằng phương trình f(x) = 0 đem tối thiểu một nghiệm bên trên (a; b).
 Phương pháp giải:
 Xét hàm F(x) thỏa mãn nhu cầu F(x) liên tiếp bên trên [a; b], F’(x) = f(x).g(x) với từng x nằm trong (a; b), g(x) vô nghiệm bên trên (a;b) và F(a) = F(b). Theo toan lí Rolle suy rời khỏi điều nên minh chứng.
 Bài toán 2. Cho số thực dương m và những số thực a, b, c thỏa mãn:
.
 Chứng minh rằng ax2 + bx + c = 0 đem nghiệm nằm trong (0; 1).
 Hướng dẫn: Xét hàm số .
 Tương tự động tao đem vấn đề tổng quát lác rộng lớn.
 Bài toán 3. Cho số thực dương m, số vẹn toàn dương n và những số thực thỏa mãn: .
 Chứng minh rằng đem nghiệm nằm trong (0; 1).
 Hướng dẫn: Xét hàm số 
 Bài toán 4.(Định lí Cauchy) 
 Nếu những hàm số là những hàm số liên tiếp bên trên đoạn , đem đạo hàm bên trên khoảng chừng và không giống ko bên trên khoảng chừng thì tồn tại vì sao mang lại .
 Lời giải: Theo toan Lagrange luôn luôn tồn tại vì sao mang lại .
 Xét hàm số , tao có: F(x) là hàm liên tiếp bên trên đoạn , đem đạo hàm bên trên khoảng chừng và . 
 Theo toan lí Rolle tồn tại vì sao mang lại .
 Mà , suy rời khỏi .
 Nhận xét: Định lí Lagrange là hệ ngược của toan lí Cauchy (trong ngôi trường hợp)
 Bài toán 5: Cho a + b – c = 0. Chứng minh rằng: asinx+9bsin3x+25csin5x = 0 đem tối thiểu 4 nghiệm nằm trong [0; p].
 Nhận xét: Bài toán này cũng tương tự động những vấn đề bên trên. Để minh chứng đem tối thiểu n nghiệm tao minh chứng F(x) đem tối thiểu n + 1 nghiệm với F(x) là 1 trong những vẹn toàn hàm của bên trên (a;b) (có thể nên vận dụng nhiều lần)
 Lời giải: Xét hàm số:, tao có:
 , .
Ta đem sao mang lại 
mà điều nên minh chứng.
 Bài toán 6. Cho nhiều thức P(x) và Q(x) = aP(x) + bP’(x) nhập bại liệt a, b là những số thực, a 0. Chứng minh rằng nếu như Q(x) vô nghiệm thì P(x) vô nghiệm.
 Lời giải: Ta đem degP(x) = degQ(x)
 Vì Q(x) vô nghiệm nên degQ(x) chẵn. Giả sử P(x) đem nghiệm, vì thế degP(x) chẵn nên P(x) đem tối thiểu 2 nghiệm.
 - Khi P(x) đem nghiệm kép x = x0 tao đem x0 cũng là 1 trong những nghiệm của P’(x) suy rời khỏi Q(x) đem nghiệm.
 - Khi P(x) đem nhì nghiệm phân biệt x1 < x2. 
 Nếu b = 0 thì rõ ràng Q(x) đem nghiệm.
 Nếu b 0 : Xét tao có: đem nhì nghiệm phân biệt x1 < x2
 Vì đem nhì nghiệm suy rời khỏi đem tối thiểu 1 nghiệm hoặc Q(x) đem nghiệm.
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
 Bài toán 7: Giải phương trình: (1)
 Lời giải:
 Nhận xét: là nghiệm của phương trình (1).
 Gọi x0 là nghiệm của phương trình vẫn mang lại. Ta được: 
 Xét hàm số , tao đem 
 Vì f(t) liên tiếp bên trên [3; 4] và đem đạo hàm trong vòng (3; 4), bởi vậy theo gót toan lí Rolle tồn tại vì sao cho: 
 Vậy phương trình (1) đem nhì nghiệm x = 0 và x = 1. 
 Bài toán 8: Giải phương trình: 
 Lời giải:
 Nhận xét: là nghiệm của phương trình (2).
 Gọi x0 là nghiệm của phương trình vẫn mang lại, tao có: 
 Xét hàm số: , Khi đó: 
      Vì liên tiếp bên trên [3; 5] và đem đạo hàm bên trên (3; 5), bởi vậy theo gót toan lí Lagrange luôn luôn tồn tại vì sao cho: 
       Vậy phương trình (1) đem nhì nghiệm x = 0 và x = 1. 
 Bài toán 9. Giải phương trình: (3). 
 Lời giải: 
 (5) .
 Xét hàm số: tao có: 
 hoặc vô nghiệm, suy rời khỏi có không ít nhất 1 nghiệm, suy rời khỏi có không ít nhất 2 nghiệm. 
 Mà bởi vậy (3) đem đích thị nhì ngặt nghèo .
 Bài toán 10. Giải phương trình: 
 Lời giải: 
 Đặt 
 Xét hàm số: 
 Ta có: mang trong mình 1 nghiệm có một không hai 
 có không ít nhất nhì nghiệm có không ít nhất phụ vương nghiệm.
 Mặt không giống thường thấy, bởi vậy đem phụ vương nghiệm .
 Kết luận: Nghiệm của phương trình (4) là:
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
 Bài toán 11. Cho nhì số thực dương a, b thỏa mãn nhu cầu a < b. Chứng minh rằng:
 Lời giải: 
 Xét hàm số 
 Theo toan lí Lagrange luôn luôn tồn tại vì sao mang lại hoặc nhưng mà .
 Bài toán 12. Chứng minh rằng: 
 Lời giải:
 Ta có: 
 Đặt 
 Ta có: 
 sát dụng toan lí Lagrange so với hàm số: nó = lnt bên trên [x; x+1], thì tồn tại vì sao cho: 
 Mà 
hàm số đồng thay đổi bên trên 
 Từ (1) suy ra: đồng thay đổi bên trên 
 Suy ra:  điều nên minh chứng.
 Nhận xét: Trong ví dụ bên trên thực ra của yếu tố là tao lên đường minh chứng hàm số đồng thay đổi bên trên và tao lên đường minh chứng hàm số đồng thay đổi bên trên , cho tới trên đây vấn đề quay trở lại tựa như ví dụ 1. Tương tự động tao minh chứng được hàm số nghịch tặc thay đổi bên trên 
 Ta rất có thể minh chứng vấn đề 12 bằng phương pháp không giống.
 Xét hàm số: 
 Với từng cặp số thực x, nó bất kì thỏa mãn nhu cầu 0 < x < nó, theo gót toan lí Lagrange, luôn luôn tồn bên trên thỏa mãn:
hay .
 Mà 
 Vậy với từng cặp số thực x, nó bất kì thỏa mãn nhu cầu 0 < x < nó, luôn luôn đem thay cho x vì thế và nó vì thế tao có:
 Bài toán 13. (Bất đẳng thức Jensen) 
 Cho hàm số đem đạo hàm cấp cho nhì bên trên (a; b) và .
 Chứng minh rằng: 
 Lời giải: 
 Đẳng thức xẩy ra Khi .
 Khi , theo gót toan lí Lagrange, tồn bên trên thỏa mãn nhu cầu . 
 Mà đồng thay đổi bên trên (a; b) 
 Bài toán 14. (Bất đẳng thức Bernoulli)
 Với từng số thực x thỏa mãn nhu cầu x > -1, minh chứng rằng 
 Lời giải:
 - Khi x > 0: xét , theo gót toan lí Lagrange tao đem thỏa mãn nhu cầu 
 - Khi -1< x < 0: xét , theo gót toan lí Lagrange tao đem thỏa mãn nhu cầu 
 Vậy . Đẳng thức xẩy ra Khi và chỉ Khi x = 0.
 Bài toán 15. Cho hàm số đem đạo hàm cấp cho nhì bên trên R, ( đem số nghiệm điểm được). Chứng minh rằng:
.
 Lời giải: 
 Vì ( đem số nghiệm điểm được) đồng thay đổi bên trên R.
 Theo toan lí Lagrange, luôn luôn tồn tại vì sao cho:
.
 Vì đồng thay đổi bên trên R 
.
và 
 Nhận xét: Nếu thì bất đẳng thức cần thiết minh chứng tiếp tục thay đổi chiều.
 Bài toán 16. Chứng minh rằng: .
 Lời giải: 
 Xét và nghịch tặc thay đổi bên trên 
 Tương tự động vấn đề bên trên tao có: 
 Bài toán 17: Cho số vẹn toàn dương k, tìm hiểu (trong bại liệt [x] là số vẹn toàn lớn số 1 ko vượt lên trên quá x).
 Lời giải: 
 Xét hàm số, tao có: nghịch tặc thay đổi bên trên .
 Suy rời khỏi 
 Nhận xét: Từ phụ vương vấn đề bên trên tao nhận biết nhằm Đánh Giá tổng ( đồng thay đổi hoặc nghịch tặc thay đổi bên trên ), tất cả chúng ta nên xét hàm số là 1 trong những vẹn toàn hàm của bên trên và giải quyết và xử lý tương tự động vấn đề bên trên.
 Từ việc ước tính được tổng tao rất có thể nghĩ về cho tới vấn đề tìm hiểu số lượng giới hạn tao nghiên cứu và phân tích ở những vấn đề sau.
 Bài toán 18. Tính .
 Lời giải: 
 Xét 
 đồng thay đổi bên trên . Suy rời khỏi 
Mà (Nguyên lí kẹp).
 Bài toán 19. Cho phương trình: 
 Chứng minh rằng: Với từng số vẹn toàn dương n phương trình đem có một không hai một nghiệm dương. Kí kiến hiệu này đó là xn, tìm hiểu limxn.
 Lời giải: 
 Xét 
 Ta có: liên tiếp, nghịch tặc thay đổi bên trên .
 Mà có một nghiệm dương có một không hai. 
 Xét hàm số , tao đem nghịch tặc thay đổi bên trên .
.
 Bài toán 20: Cho những số thực dương a, b, c, d thỏa mãn nhu cầu 
Chứng minh rằng 
 Nhận xét: Trong vấn đề này kể từ fake thiết , tao phát hiện ra ngay lập tức fake thiết của toan lí Rolle với hàm số , Khi bại liệt tao nên minh chứng . Vì liên tiếp và , suy rời khỏi tồn bên trên khoảng chừng sao mang lại , bởi vậy vấn đề trở nên xét lốt của , vì vậy tao cần thiết trấn áp được những nghiệm của .
 Lời giải: 
 Không rơi rụng tính tổng quát lác tao rất có thể fake sử 
 Nếu 
( Mâu thuẫn )
 Tương tự động tao đem 
 Xét hàm số 
 Giả sử đem nghiệm Theo toan lí Rolle, tồn bên trên thỏa mãn: 
 hoặc 
 Mà 
và 
 (Mâu thuẫn). 
 Vậy chỉ mất nhì ngiệm x = 2, x = 4 và có một nghiệm có một không hai, và nó nằm trong (2; 4). Vì liên tiếp nên đem và một lốt bên trên từng khoảng chừng Mà (vì nếu như thì x = 2 là nghiệm của ) (điều nên bệnh minh).
 Định lí Lagrange còn được dùng nhằm giải quyết và xử lý một vài vấn đề về bất đẳng thức đối xứng, nhằm mục tiêu mục tiêu thực hiện hạn chế số thay đổi. Nếu cần thiết minh chứng bất đẳng thức đối xứng n thay đổi thì tao xét nhiều thức , suy rời khỏi đem n nghiệm, bởi vậy đem n – 1 nghiệm , và nhờ vào toan lí Viète tao trả về minh chứng bất đẳng thức đối xứng với n – 1 thay đổi .
 Bài toán 21. Cho a < b < c, minh chứng rằng: 
 Lời giải:
 Xét hàm số: 
 Theo toan lí Lagrange tồn tại vì sao cho:
, 
 Do bại liệt, kể từ . Suy ra:
 Bài toán 22. Cho những số thực ko âm a, b, c, d. Chứng minh rằng: 
 Lời giải: 
 Xét .
 Đặt 
 Ta đem , theo gót toan lí Rolle suy rời khỏi đem phụ vương nghiệm (nếu a = b thì a là nghiệm của f’(x)).
 Suy rời khỏi tồn bên trên thỏa mãn nhu cầu 
 .Mà 
 Đẳng thức xẩy ra .
TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ
 Định lí Lagrange được dùng nhằm giải quyết và xử lý một vài vấn đề vế số lượng giới hạn sản phẩm số, với những sản phẩm số xác lập vì thế hàm số và sản phẩm số xác lập vì thế nghiệm của một phương trình , rằng cộng đồng là những hàm số đem đạo hàm và đơn điệu bên trên tập dượt xác lập của bọn chúng, đạo hàm của bọn chúng rất có thể ước tính được vì thế một bất đẳng thức. Do bại liệt nếu như tìm kiếm được số lượng giới hạn là a, tao rất có thể đối chiếu được hiệu với và rất có thể ước tính được xn.
 Bài toán 23. Cho sản phẩm số thực (xn) xác lập bởi:
 Tìm số lượng giới hạn của sản phẩm số Khi n tiến bộ dần dần cho tới dương vô nằm trong.
 Lời giải: Ta đem 
 Xét f(x) = , tao có: . 
 Nếu (xn) đem số lượng giới hạn thì số lượng giới hạn này đó là nghiệm to hơn của phương trình . Ta có: 
Đặt , theo gót toan lý Lagrange, luôn luôn tồn bên trên hoặc thỏa mãn: 
Mà , bởi vậy limxn = a = .
 Nhận xét: 
 Trong vấn đề bên trên việc giải phương trình ko nhất thiết nên trình diễn, tao chỉ việc lựa chọn được nghiệm thỏa mãn nhu cầu của chính nó là được.
 Bài toán bên trên đem dạng tổng quát:
 Cho sản phẩm số thực (xn) xác lập bởi:. Chứng minh rằng:
Nếu là hàm số đem đạo hàm bên trên khoảng chừng D chứa chấp a và thì (xn) đem số lượng giới hạn hữu hạn Khi n tiến bộ dần dần cho tới dương vô nằm trong.
Nếu là hàm số đem đạo hàm bên trên khoảng chừng D chứa chấp a, và thì |xn| tiến bộ dần dần cho tới dương vô nằm trong Khi n tiến bộ dần dần cho tới dương vô nằm trong.
 Phương pháp giải
 a) - Nếu phương trình giải được (tìm được nghiệm) thì tao giải quyết và xử lý vấn đề tổng quát lác tương tự động vấn đề bên trên và Khi bại liệt tao tìm kiếm được số lượng giới hạn của sản phẩm số Khi n tiến bộ dần dần cho tới dương vô nằm trong.
 - Nếu phương trình khó khăn giải thì tao giải quyết và xử lý vấn đề tổng quát lác bằng phương pháp dùng tiêu xài chuẩn chỉnh Cauchy. Bài toán sau đó là một ví dụ rõ ràng.
 b) Tương tự động ý a. 
 - Khi luôn luôn tồn bên trên hoặc thỏa mãn: 
- Khi phương trình f(x)=x vô nghiệm, tao đem f(x)-x > 0 "xÎD hoặc f(x)-x < 0 "xÎD suy rời khỏi xn tăng hoặc hạn chế. Nếu xn đem số lượng giới hạn thì số lượng giới hạn này đó là nghiệm của phương trình f(x) = x, bởi vậy 
 Bài toán 24. (Dự bị VMO 2008) 
 Cho số thực a và sản phẩm số thực (xn) xác lập bởi: 
x1 = a và xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008, 
 Chứng minh rằng sản phẩm số (xn) đem số lượng giới hạn hữu hạn Khi n tiến bộ dần dần cho tới dương vô nằm trong.
 Lời giải: 
 Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008, tao có:.
 Mà , suy ra:
 Theo toan lý Lagrange : với từng cặp nhì số thực x, nó (x < y), luôn luôn tồn bên trên thỏa mãn: f(x) – f(y) = f’(z)(x-y).
 Từ bại liệt suy rời khỏi |f(x) – f(y)| £ q|x – y| với từng x, nó nằm trong R.
 sát dụng đặc điểm bên trên với m > n ³ N, tao có :
|xm – xn| = |f(xm-1) – f(xn-1)| £ q|xm-1- xn-1| £ £ qn-1|xm-n+1 – x1| £ qN-1|xm-n+1 – x1|.
 Mặt không giống sản phẩm (xn) bị ngăn và q 0 tồn bên trên N đầy đủ rộng lớn sao cho:
qN-1|xm-n+1 – x1| < e.
 Như vậy sản phẩm (xn) thoả mãn tiêu xài chuẩn chỉnh Cauchy, bởi vậy (xn) quy tụ.
 Bài toán 25. (VMO 2007) 
 Cho số thực a > 2 và .
 a) Chứng minh rằng với từng số vẹn toàn dương n, phương trình luôn luôn đem đích thị một nghiệm dương có một không hai. Kí kiến hiệu này đó là xn.
 b) Chứng minh rằng sản phẩm (xn) đem số lượng giới hạn vì thế Khi n dần dần cho tới vô nằm trong.
 Lời giải: 
 Đặt , tao đem liên tiếp, đồng thay đổi bên trên và
 Suy rời khỏi phương trình luôn luôn đem đích thị một nghiệm xn dương có một không hai.
 Đặt 
 Theo toan lí Lagrange, luôn luôn tồn bên trên thỏa mãn:
.
 Mà nên 
 (vì ).
 Nhận xét: 
 Bài toán bên trên tiếp tục trở ngại rất nhiều nếu như đề bài xích ko mang lại trước số lượng giới hạn của sản phẩm số. Khi bại liệt thắc mắc đưa ra là số lượng giới hạn bại liệt vì thế bao nhiêu?
 Ta rất có thể vấn đáp thắc mắc bại liệt như sau:
 Trước không còn số lượng giới hạn của sản phẩm số nên nằm trong khoảng chừng (0; 1), fake sử số lượng giới hạn của sản phẩm số là b tao có: (vì ).
 Mà .
 Trong vấn đề dạng bên trên sản phẩm số xác lập là sản phẩm nghiệm nằm trong (a; b) của phương trình , với fake thiết là hàm số đồng thay đổi hoặc nghịch tặc thay đổi bên trên (a; b), với từng số vẹn toàn dương n và số thực dương x nằm trong (a; b), Khi giải vấn đề dạng này rằng cộng đồng tao điều trở ngại nhất là xác lập được số lượng giới hạn của sản phẩm số.
 Bài toán 26: (VMO 2002) 
 Xét phương trình , với n là số vẹn toàn dương.
Chứng minh rằng với từng số vẹn toàn dương n, phương trình nêu bên trên mang trong mình 1 nghiệm có một không hai to hơn 1; kí kiến hiệu này đó là xn.
Chứng minh rằng .
 Lời giải:
Xét , tao có: liên tiếp và nghịch tặc thay đổi bên trên 
Mà mang trong mình 1 nghiệm có một không hai to hơn 1.
Với từng số vẹn toàn dương n tao có:
 Theo toan lí Lagrange, luôn luôn tồn bên trên thỏa mãn:
.
 Mà 
 3. BÀI TẬP TỰ GIẢI
 1. Giải những phương trình sau.
 a) 
 b) 
 c) 
 2. Chứng minh nếu như hàm số đem đạo hàm cấp cho 2 bên trên đoạn [a; b] và thì bất phương trình đem tối thiểu một nghiệm.
 3. Tìm 
 4. Cho sản phẩm số thực (xn) xác lập bởi: . 
 Chứng minh rằng xn đem số lượng giới hạn.
 5. Cho phương trình: 
 Chứng minh rằng: Với từng số vẹn toàn dương n phương trình đem có một không hai một nghiệm dương. Kí kiến hiệu này đó là xn, tìm hiểu limxn.
 6. Chứng minh với từng .
 7. Cho nhiều thức P(x) và Q(x) = aP(x) + bP’(x) + cP”(x) nhập bại liệt a, b, c là những số thực thỏa mãn nhu cầu a 0 và b2 – 4ac > 0. Chứng minh rằng nếu như Q(x) vô nghiệm thì P(x) vô nghiệm.
 8. Cho số thực a không giống ko, nhiều thức và nhiều thức. Chứng minh rằng nếu như vô nghiệm thì cũng vô nghiệm.