Giả sử tam giác ABC có H vừa là trực tâm, vừa phải là trọng tâm tam giác ABC. Ta cần minh chứng tam giác ABC đều.
Vì H là trọng tâm tam giác ABC nên AD, BE, CF vừa là những lối cao, vừa phải là những lối trung tuyến vô tam giác.
Suy ra: AF = BF = AE = CE = BD = CD;
\(AD \bot BC; BE \bot AC; CF \bot AB\)
Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:
AD chung
\(\widehat{ADB}=\widehat{ADC} (=90^0)\)
BD = CD (D là trung điểm của đoạn thẳng BC).
Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(c.g.c) nên AB = AC ( 2 cạnh tương ứng).
Tương tự động, tớ cũng rất được, AC = BC
Xét tam giác ABC đem AB = AC = BC nên là tam giác đều.
Vậy tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác thì tam giác ABC đều.